人教版六年级数学下册《鸽巢问题》集体备课教案_6数余峰
第五单元《数学广角－鸽巢问题》
1、教材分析
“抽屉原理”最早是由19世纪的德国数学家狄利克雷提出并被运用于解决数学问题，所以又称“狄利克雷原理”，也称之为“鸽巢原理”。“抽屉原理”实际上是一种解决某种特定结构的数学或生活问题的模型，是一种数学的思想方法。
本单元的三道例题，有着各自不同的作用。例1描述的是“抽屉原理”的最简单情况。通过本例的教学，使学生感知这类问题的基本结构，掌握两种思考的方法——枚举和假设，理解问题中关键词语“总有”“至少”的含义，形成对“抽屉原理”的初步认识。例2描述了“抽屉原理”更为一般的形式，提升学生对“抽屉原理”的理解水平。例2即是“把多于kn个元素放入n个集合，总有一个集合里至少有（k+1）个元素”。若k为1，就是例1的情况了，可见例1只是例2的一个特例。例3是“抽屉原理”的具体运用，是一个运用逆向思维来解决问题的例子。例3是在学生通过例1和例2的学习，对“抽屉”“物体”及其相互之间关系有一定的认识后，依托这一数学模型来分析和解决相关的实际问题。
教科书以学生熟悉的或者感兴趣的材料作为学习素材，缓解学习难度带来的压力，并以直观素材和实践操作作为基础，帮助学生积累对“抽屉原理”的感性认识，逐步提升思维。教科书例题（习题）的编排也非常关注细节，充分考虑学生学习的重、难点，启发学生抓住关键，建立模型。
二、学情分析
“抽屉原理”是一类较为抽象和艰涩的数学问题，对全体学生而言都具有一定的挑战性。当学生的思维能力比较弱时，学习中面临的压力会更大。“抽屉原理”之所以难，一是难在模型的建立上，二是难在它的应用。其实“鸽巢问题”的理论本身并不复杂,甚至可以说是显而易见的，学生在现实生活中已有一定的感性经验。教学时可以充分利用学生的生活经验，放手让学生自主思考，使学生逐步学会运用一般性的数学方法来思考问题。同时，“鸽巢问题”具有“模型化”特征，在教学中还应培养学生“模型”思想，从现实素材中找出最本质的特征，将具体问题“数学化”。
三、教学目标
1.理解鸽巢问题的基本形式，并能初步运用鸽巢问题解决相关的实际问题或解释相关的现象。
2.通过操作、观察、比较、说理等数学活动，经历对鸽巢问题的初步认识，体会和掌握逻辑推理思想和模型思想。
四、教学重难点
教学重点：经历抽屉原理的探究过程，把具体问题转化为“抽屉原理”，找出“抽屉”数，再依据最不利原则，利用列表法，进行分析、推理。
教学难点： 理解“抽屉问题”中的一些基本原理，正确辨析“抽屉问题”中被分的物品。
5、课时安排
1.鸽巢问题（1）……………………………………………1课时
2.鸽巢问题（2）……………………………………………1课时
3.解决问题 …………………………………………………1课时
六、教学策略
1.在直观操作中理解“抽屉原理”的有关概念，初步了解“抽屉原理”的结构特征。教学时要借助教具，让学生在亲身经历（看到、摸到）的基础上，深刻感知分的过程和分的结果，积累对“抽屉原理”的感性认识。这既可分解学生学习的难度，又可使学生充分地理解“总有”“至少”等特定术语的含义，清晰地建立“待分物品”和“抽屉”之间的关系。
2.让学生初步经历“数学证明”的过程。在数学上，一般是用反证法对“抽屉原理”进行严格证明的。在小学阶段，虽然并不需要学生对涉及“抽屉原理”的相关现象给出严格的、形式化的证明，但仍可引导学生用直观的方式对某一具体现象进行“就事论事”式的解释。在教学的过程中教师可以鼓励学生借助学具、实物操作或画草图的方式进行“说理”。实际上，通过“说理”的方式来理解“抽屉原理”的过程就是一种数学证明的雏形。通过这样的方式，有助于逐步提高学生的逻辑思维能力，为以后学习较为严密的数学证明作准备。
3.要有意识地培养学生的“模型思想”。“抽屉问题”的变式很多，应用更具灵活性。当我们面对一个具体的问题时，要引导学生先判断某个问题是否属于用“抽屉原理”可以解决的范畴，如果可以，就要找出该问题中什么是“待分的东西”，什么是“抽屉”，思考如何寻找隐藏在其背后的“抽屉问题”的一般化模型。这个过程，实际上是学生经历将具体问题“数学化”的过程，是从复杂的现实素材中寻找本质的数学模型的过程。这样的过程，可有效地发展学生的数学思维能力，尤其是可增强学生对“模型思想”的体验，增强运用能力。
集体备课教案 （主备人：苗慧敏） | ||||||
课题：鸽巢问题（1） |
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时间：2025.03 |
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教学目标： 1.理解“抽屉原理”（“鸽巢原理”）的基本形式，并能初步运用“抽屉原理”解决相关的实际问题或解释相关的现象。 2. 通过操作、观察、比较、说理等数学活动，经历对“抽屉原理”的初步认识，体会和掌握逻辑推理思想和模型思想。 3.体会数学知识在日常生活中的广泛应用，培养学生的学习兴趣和探究意识。 教学重、难点： 重点:经历“抽屉原理”的探究过程，理解“总有”和“至少”的含义，初步了解“抽屉原理”，会用“抽屉原理”解释生活中的简单问题。 难点:理解“抽屉原理”，建立基本的模型。 教具准备：多媒体课件。 教学过程 【导学】 一、创设身边的问题情境，揭示课题 师：同学们，一年有几个季节？ 师：我们班每个小组有6名同学，老师有一个大胆的猜测：一个小组中总有一个季节里至少有2人过生日，你知道这句话的意思吗？“总有”和“至少”表示什么意思？ 师：老师为什么猜得这么准呢？这里面藏着我们今天要学习的数学知识，下面就让我们到课堂上来揭晓这个秘密吧！ 【共学】 二、经历过程，初步感知“鸽巢原理”模型 1.呈现问题，引出探究。 课件出示教科书P67例1。 师：谁来解释“总有”和“至少”这两个词的意思？ 学生1：就是一定有1个笔筒里最少放2支铅笔。 学生2：至少放2支铅笔就是2支或2支以上。 师：这几个同学解释得对吗？有什么办法来证明呢？请你用自己喜欢的方式来表达想法。（学生摆一摆、画一画、写一写。） 2.用枚举法研究问题。 3.汇报交流。 师：同学们用画一画、摆一摆、写一写的方法来证明把4支铅笔放进3个笔筒中，不管怎么放，总有一个笔筒里至少放2支铅笔这个结论。你有什么想法呢？ 师：在放的时候怎样才能做到不重复、不遗漏？（有序地放，教师演示课件。） 根据学生的回答，教师板书4种不同的放法： （4，0，0）、（3，1，0）、（2，2，0）、（2，1，1）。
师：看来，4支铅笔放进3个笔筒里，一共有4种放法。请你观察这4种放法，是不是不管怎么放，总有一个笔筒里至少放2支铅笔呢？ 师小结：每种放法中，放得最多的这个笔筒里最少放了2支铅笔。最少2支，有的超过了2支，我们就说“至少”2支。因此“把4支铅笔放进3个笔筒中，不管怎么放，总有一个笔筒里至少有2支铅笔”这句话是正确的。 三、提升思维，构建“鸽巢原理”模型 1.课件出示习题。 师：刚才我们通过不同的方法验证了“把4支铅笔放进3个笔筒中，不管怎么放，总有一个笔筒里至少有2支铅笔”这句话是正确的。请你借助刚才的经验猜一猜，把5支铅笔放进4个盒子，总有一个盒子至少要放进几支铅笔。 学生会说出总有一个盒子至少要放进2支铅笔。 师：猜测正确吗？请大家验证一下。 2.学生用自己的方式（摆一摆、画一画、写一写）来验证。 学生可能得出6种放法：（5，0，0,0）、（4，1，0,0）、（3,2,0,0）、（3,1,1,0）、（2,2,1,0）、（2,1,1,1）。 教师根据学生发言板书。 师：仔细观察，如果老师说“总有一个盒子里至少要放进3支铅笔”，你同意吗？ 学生会说出每一种摆法中最多的那一个盒子里最少放了2支铅笔，所以应该是总有一个盒子里至少要放进2支铅笔。 3.用假设法探究问题。 师：经过大家的证明，我们发现把5支铅笔放进4个盒子，总有1个盒子至少要放进2支铅笔。现在我们回头看，刚才研究了把4支铅笔放进3个笔筒里，不管怎么放，总有1个笔筒里至少放2支铅笔的问题，这两个问题都采用了一一枚举的方法来研究，枚举法是研究问题的一种基本方法。那么探究“把100支铅笔放进99个盒子，总有1个盒子至少要放进多少支铅笔呢？”这个问题时，如果还用枚举法来研究，你有什么想法？我们能不能找到一种更为直接的方法解决这个问题？ 引导学生说出数据过大，用枚举法太过复杂，可以用假设法来做，先假设每个盒子中最多放1支铅笔，那么99个盒子中最多放99支。可是现在有100支铅笔，所以总有1个盒子中至少有2支铅笔。 师小结：在研究刚才的两个问题时，我们先是用枚举法把所有的放法都列举出来，得到总有1个盒子里至少放的铅笔支数。枚举法虽然很直观，但数据大了就不方便，由此我们又找到一种更为直接的方法——假设法。 ［教师板书：枚举法 假设法］ 4.类推与归纳。 课件出示表格。同学们请任意选择一组数据画一画，说一说，你有什么发现？ 【学情学生】引导学生发现：只要铅笔的数量比盒子的数量多1，那么总有1个盒子里至少要放进2支铅笔。如果将（n＋1）支铅笔放入n个盒子（n是非0自然数），总有1个盒子里至少放进了2支铅笔。 【展学】 四、综合运用，利用模型解决问题 1.完成教科书P67“做一做”第1、2题。 五、课堂小结 师：同学们，今天的数学课你们有哪些收获呢？
【验学】 七、作业设计 【课堂作业】1.把5枚棋子放入4个小方格内，总有一个小方格里至少放（ ）枚棋子。
【思考题】 把25个球最多放进几个盒子里，可以保证有一个盒子里至少有5个球？ 【延学】 学生自学教科书P69“你知道吗？”。然后进行交流：我们班每个小组有5名同学，总有1个季节里至少有2人过生日，这里藏着什么秘密呢？ 把5名同学看成“待分的物体”，4个季节看成4个“抽屉”，如果每个季节最多有1名同学过生日，则4个季节最多只有4名同学过生日。现在有5名同学，剩下的1名同学不论在哪个季节过生日，总有1个季节至少有2人过生日。 |
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教学反思：
集体备课教案 （主备人：苗慧敏） | ||||||
课题 | 鸽巢问题（2） |
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时间 | 2025.03 |
| 教师 |
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教学目标：
教学重、难点： 重点: 掌握“鸽巢原理”的一般形式，会运用除法算式来解决实际问题。 难点: 对“把多于kn（k是正整数）个物体任意分放入n个空抽屉，总有一个抽屉里至少有（k+1）个物体”形成一般性理解。 教具准备：多媒体课件。 教学过程 【导学】 一、复习导入，揭示课题 课件出示习题。 学生1：我们把4把椅子看成4个“鸽巢”，把5个人放进4个“鸽巢”中，总有1个“鸽巢”里至少有2个人，即总有一把椅子上至少坐2人。 学生2：我用算式表示：5÷4=1……1,1+1=2，所以总有一把椅子上至少坐2人。 师：同学们研究了物体数比盛放物体的工具数多1的情况，得出了总有一个盛放物体的容器里至少放有两个物体的结论。“鸽巢原理”真是这样吗?今天我们继续来研究相关问题。［板书课题：鸽巢问题（2）］ 【共学】 二、自主探究，建立模型 1.课件出示教科书P68例2。 师：请你试着证明这个结论。（学生用自己的方式证明。） 学生1：我随便放放看，一个抽屉1本，一个抽屉2本，一个抽屉4本。可以证明总有一个抽屉里至少放进3本书。 学生2：我用假设法来思考，如果每个抽屉最多放2本，那么3个抽屉最多放6本，最后的1本书一定会放到3个抽屉中的任何一个，可以证明总有一个抽屉里至少放进3本书。 学生3：我用算式来证明：7÷3＝2（本）……1（本），2＋1＝3（本）。 师：你能理解这道算式表示的意思吗？［板书算式：7÷3＝2（本）……1（本），2＋1＝3（本）］ 指导学生规范表达：把7本书平均放进3个抽屉，每个抽屉里放2本，还剩一本。剩下的一本不管怎么放，总有1个抽屉至少放进3本书。 师：其实用有余数的除法算式来证明的方法，它的思路就是假设法，是按照平均分的思路来分析证明的。这种表达方式非常简洁、清晰！ 2.拓展建模。 （1）运用有余数的除法算式解决问题。 师：把7本书放进3个抽屉，不管怎么放，总有一个抽屉里至少放进3本书。如果有8本书会怎样呢？你能用算式来表达自己的想法吗？ 学生思考并汇报交流。 学生1：8÷3＝2（本）……2（本），2＋2＝4（本），如果把8本书放进3个抽屉，不管怎么放，总有1个抽屉里至少放4本书。 学生2：8÷3＝2（本）……2（本），2＋1＝3（本），如果把8本书放进3个抽屉，不管怎么放，总有1个抽屉里至少放3本书。 师：你同意哪一种说法呢？为什么？ 引导学生分析并说出，虽然余数是2，但要求的是“至少数”，把8本书平均放进3个抽屉，每个抽屉里放2本，还剩2本。剩下的2本再平均分，所以总有1个抽屉里至少放进3本书。［教师根据学生的汇报板书算式：8÷3＝2（本）……2（本），2＋1＝3（本）］ （2）概括规律，建立模型。 师：如果我们把9本书、10本书放到3个抽屉里，你能快速说出总有一个抽屉里至少放的书的本数吗？ 学生独立完成后在小组内交流，再集体汇报。 学生1：9÷3＝3（本），如果把9本书放进3个抽屉，不管怎么放，总有1个抽屉里至少放3本书。 学生2：10÷3＝3（本）……1（本），3＋1＝4（本），如果把10本书放进3个抽屉，不管怎么放，总有1个抽屉里至少放4本书。［教师根据学生的汇报板书算式：9÷3＝3（本） 10÷3＝3（本）……1（本），3＋1＝4（本）］ 师：听了大家的汇报，认真观察这些算式，想一想，至少数都是怎么求出来的？ 学生1：用书本数除以抽屉数，要是有余数，就用所得的商加1。 学生2：至少数=商+1。 师：同学们的发现真了不起。把书本放进抽屉，如果平均分后有剩余，那么总有1个抽屉里至少放“商+1”本书，如果没有剩余，至少数等于商。而且当余数等于1时,至少数为商加1；当余数大于1时，至少数仍为商加1。 引导学生小结：a÷n=b……c（c≠0），至少数=b+1。（板书） 师：想一想，每个抽屉的书本数一直到什么时候至少数还是4？什么时候至少数变成5？ 引导学生讨论后得出，每个抽屉的书本数一直到12本的时候至少数还是4，书本数到13本的时候至少数变成5。 【展学】 三、综合运用，利用模型解决问题 1.完成教科书P68“做一做”第1、2题 学生独立思考后，汇报交流。 四、课堂小结 师：通过本节课的学习，你有哪些新的收获？ 五、板书设计
六、作业设计 【课堂作业】课本P70第1、2题。 【思考题】课本P70第5题。 【延学】 任意给出4个不同的自然数（不能为0），其中必有两个数的差是3的倍数，为什么？
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教学反思：
集体备课教案 （主备人：苗慧敏） | ||||||
课题 | 鸽巢问题（3） |
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时间 | 2025.03 |
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教学目标： 1.进一步理解“抽屉原理”，运用“抽屉原理”进行逆向思考，掌握“抽屉原理”的反向求法。 2.经历运用“抽屉原理”解决问题的过程，体验观察猜想、实践操作的学习方法。 3.培养学生自己动手操作、动脑思考的习惯，体会数学与日常生活的联系，了解数学的价值，培养学生应用意识、创新意识。 教学重、难点： 重点: 引导学生把具体问题转化为“抽屉原理”，找出“抽屉”有几个，再利用“抽屉原理”进行逆向推理。 难点:理解“抽屉问题”中的一些基本原理，正确辨析“鸽巢问题”中被分的物品。 教具准备：多媒体课件。 教学过程 【导学】 一、创设生活情境，导入新课 课件出示有趣的生活情境。 学生有的猜2只，有的猜3只、5只、7只…… 师：同学们通过思考，都有了自己比较满意的答案，但正确的答案只有一个，只要认真学习今天的知识，相信你一定能找到正确的答案。下面就让我们一起来继续研究“鸽巢问题”吧！［板书课题：鸽巢问题（3）］ 【共学】 二、合作探究，学习新知 1.呈现问题，引出探究。 课件出示教科书P69例3。 师：大家来猜测一下答案是什么？ 学生可能猜测出的答案有2个、3个、5个。 师：同学们对答案进行了猜测，你们有什么方法能验证自己的猜测是否正确？想一想，可以在小组内合作研究。 学生汇报交流，验证答案，课件配合出示。 学生1：至少摸2个球就能保证是同色的。
验证：球的颜色共有2种，如果只摸出2个球，会出现以上三种情况，如果摸出的2个球正好是一红一蓝时就不满足条件。 学生2：摸出5个球，肯定有2个是同色的。
验证：把红、蓝两种颜色看成2个“抽屉”，因为5÷2=2……1，所以摸出5个球时，至少有3个球是同色的，摸出5个球不是最少的。 学生3：有两种颜色。那摸3个球就能保证有2个同色的球。
验证：把红、蓝两种颜色看成2个“抽屉”，因为3÷2=1……1，所以摸出3个球时，至少有2个球是同色的。 师：通过大家的猜测和验证，我们知道了只要摸出的球数比它们的颜色种数多1，就能保证有2个球同色。为什么摸出2个和5个都不是正确答案呢？请大家再和同桌互相说一说。 2.分析推理，把实际问题转化为“抽屉问题”。 师：同学们用自己的方法验证了自己的猜测，如果我们用“抽屉原理”来对上题进行分析,你会怎样想?学生思考并汇报交流。 引导学生说出：可以把颜色数看作“抽屉”数，要保证一个“抽屉”里至少有2个球，要分的物体数必须比“抽屉”数多1，所以当颜色数为2时，分的物体就应该为2+1=3（个），所以至少摸出3个球，就能保证有2个球同色。 师：同学们请根据“抽屉原理”研究出反向解决问题的方法，谁能用自己的语言总结一下这种方法? 小结：因为一共有红、蓝两种颜色的球，可以把两种“颜色”看成两个“抽屉”，“同色”就意味着“同一抽屉”。这样，把“摸球问题”转化成“抽屉问题”，即“只要分的物体个数比抽屉个数多1，就能保证有一个抽屉至少有2个球”。 师：你能用这种方法解决小红取袜子的问题吗？说说自己怎么想的? 引导学生分析并说出，把两种颜色看作2个“抽屉”，要保证1个“抽屉”里至少有2只袜子，要分的物体数必须比“抽屉”数多1，所以当颜色数为2时，分的物体就应该为2＋1＝3（只），所以至少摸出3只袜子，就能保证有2只颜色相同的袜子。［教师板书算式：2＋1＝3（只）］ 3.拓展思维。 师：同学们总结了“鸽巢原理”反向解决问题的方法，试一试，下面这个问题你能解决吗? 课件出示习题。 小组讨论后汇报交流。 学生说出：把3种颜色看作3个“抽屉”，要使至少1个“抽屉”里有2个球，所分的球应为3＋1＝4（个），所以至少要摸出4个球，就能保证至少有2个球同色。［教师板书算式：3＋1＝4（个）］ 小结：我们在用“抽屉原理”反向解决问题时，最重要的就是确定“抽屉”数，要保证至少1个“抽屉”放2个物体，所分的物体数就应是“抽屉”数＋1。（板书） 【展学】 三、巩固运用，促进内化 1.完成教科书P69“做一做”第1、2题。 学生独立思考后，汇报交流。 四、课堂小结 师：通过本节课的学习，你有哪些收获？说一说解决“鸽巢问题”要注意什么？ 6、 【验学】 七、作业设计 【课堂作业】课本P70第3、4题。 【思考题】学校组织同学们去游览黄鹤楼、动物园和科技馆。每人至少去一处，最多去两处，那么至少应有多少名同学，才能保证至少有10名同学游览的地方完全相同？
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教学反思：
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