人教版六年级数学上册集体备课《数与形》导学案_6数余峰

集体备课教案

（主备人：余峰）

课题

数与形（1）

班级

时间

2024.12

教师

教学目标：

1.体会数与形的联系,进一步积累数形结合的数学活动经验,培养学生数形结合的数学思想意识。

2.体验数形结合的数学思想方法价值,激发学生用数形结合的思想方法解决问题的兴趣,感受数学的魅力。

3.在解决数学问题的过程中,体会和掌握数形结合、归纳推理等基本的数学思想方法。

教学重、难点：

重点:体会数形结合的思想。

难点: 用自己的语言描述发现的规律。

教具准备：课件、不同颜色的小正方形。

教学过程

一、游戏激趣,导入课题

师：同学们,我们学习了几年的计算,今天,大家就来和老师比一比。好吗？（好）

课件依次出示习题。

师生比赛,看谁算得快。（老师当然快一些）

师：你们想不想也像老师一样算得快呢？（想）老师给你们一点点提示,我是借助图形发现计算方法的。今天这节课我们就来研究数与形。［板书课题：数与形（1）］

【设计意图】从谈话导入,通过设置悬念,激发学生学习兴趣,从而顺理成章地引出课题。

二、形中找数,以形解数

师：我先根据算式中的加数拿出若干个图形。比如1+3,我就先拿1个小正方形,再拿3个小正方形贴在黑板上,我发现这些数量的小正方形刚好可以拼成1个大正方形,那就把它们拼成一个大的正方形。

师：接着,我观察图形和算式之间的关系,发现了可以快速算得结果的方法,你们想不想自己试试看？

1.动画引出形与数的联系。

师：请大家认真观察屏幕上的内容。（课件动态呈现教科书P105例1）

师：通过刚才的观察,你能从图中发现哪些数的信息?请先与同桌交流,再向大家说说你的想法。

学生活动,教师巡视。全班交流。

【学情预设】学生可能会根据图形的呈现顺序(每层个数)回答,如1(1层)、1+3(2层)、1+3+5(3层)……；也可能根据图形的结果(正方形个数)回答,如1、4、9……

学生边回答,课件边呈现算式,教师边完成下面板书。

1＝1×1＝12

1+3=2×2=22

1+3+5=3×3=32

2.探究发现形与数的关系。

师：请大家结合图形与算式,看看能发现什么规律?拼这样的图形,一共需要多少个小正方形?

课件集中呈现。

学生活动,教师巡视。全班交流。

【学情预设】预设1：结合算式看图形,发现图形中所包含的规律是各层小正方形的个数之和等于层数的平方。

预设2：发现算式左边是每层图形的个数之和,右边也是。并从中发现,在计算连续奇数的和时,用“个数”的平方来计算比较快。

预设3：发现图形和算式之间有一定的联系。也就是说,图形中的规律可以用算式表示出来,这样不需要再继续拼下去,就可以从算式中知道所拼图形中一共有多少个小正方形。

预设4：发现拼出的图形有多少层,层数的平方就是图中所有小正方形的个数。如拼出的图形有2层,一共有2²个小正方形；拼出的图形有3层,一共有3²个小正方形；拼出的图形有几层,就有几的平方个小正方形。

3.初步体会形与数的关系。

师：同学们真聪明,发现了形与数之间的联系。现在如果让你拼出4层,一共需要多少个小正方形?如果拼出5层呢?6层呢?

课件动态呈现拼成4、5、6层的大正方形,学生分别说出算式和得数。

师：如果拼成10层呢？100层呢？请大家先想一想,再交流一下。

【学情预设】预设1：拼10层,共需10²＝100(个)小正方形;拼100层,共需1002＝10000(个)小正方形。

预设2：可以把拼图问题转化为计算连续奇数的和,因为1+3＝22＝4,1+3+5＝32＝9,所以1+3+5+7＝42＝16,1+3+5+…+19＝102＝100,1+3+5+…+199=1002=10000。

预设3：发现当层数较少时,用图形比较直观；当层数较多时,画图就比较麻烦,画100层就很困难。如果层数比较多,用算式虽然不像图形那样直观,但如果分析出其中隐藏的规律后,再多的层数都可以用算式非常方便地计算出结果。

教师在全班交流的同时,引导学生归纳出数与形之间的联系,最后完成小结。

师：通过探索,发现形与数之间存在着紧密的联系；并且还发现,图形虽然直观,但随着数量的不断增加,会变得不易操作,如果改用寻找数中隐藏的规律,就可以进行更加详细的讨论。

师：通过计算,你们发现算式有什么规律没有?

【学情预设】学生会发现,从1开始,n个连续奇数的和等于n2。

【设计意图】本环节设计有三层,每层都通过数形结合来引导学生不断深入思考。首先,用动画以“半包围”的方式引出图形,让学生清楚地看到每层的小正方形数量不断增加,放手让学生从中发现形与数的联系。接着,以共需多少个小正方形为问题,引发思考,又一次放手让学生探究发现形与数之间的关系。最后是渗透数学思想方法的关键,也是教学的目的所在。以不断增加层数提出“高难度”问题,迫使学生从画图转向算式,再加上教师的点拨,使学生初步体会形的直观与数的细微。

4.运用规律。

（1）课件出示习题。

教师请学生独立完成,然后全班核对答案并适时板书。

（2）利用规律,算一算。

课件展示教科书P106“做一做”第1题。

师：根据例1的结论算一算。

全班交流,请学生说明计算结果和原因。

5.小结。

师：同学们都很细心,不但能很快算出从1开始的连续奇数的和,稍加一点变化,你们也照样算得很快。现在知道老师是用什么方法来快速计算这些题了吧。

师：这么巧妙的方法,我们是借助什么发现的？（图形）看来,有的计算问题借助图形解决会更容易。

【设计意图】充分让学生观察分析,感受如何将数和形结合,体会数和形之间的紧密联系,同时让学生感受到“形”可以展示“数”的特点,通过“形”使解决“数”的问题变得更加容易。

三、巩固练习,综合应用

1.课件展示教科书P106“做一做”第2题。

师：请你认真思考、观察,上边的图形和对应的数之间有什么规律？

四人小组交流,全班汇报。课件出示答案。

师：刚才有一个同学说红色的小正方形顺次增加1个,蓝色的小正方形顺次增加2个,这是为什么呢？我们一起来看一看。第一个图形,若要增加1个红色小正方形,其上方、下方就要各增加1个蓝色小正方形。依此类推,第三个图形在第二个图形的基础上增加了1个红色小正方形,则蓝色小正方形就要增加几个？（2个）

师：如果不让你看图,照这样画下去,第6个和第10个图形各有几个红色小正方形和蓝色小正方形呢？在草稿本上写一写。

教师请学生介绍,说说是怎么算出来的。

师：观察发现,图形中左右两侧的蓝色小正方形个数固定不变（为6个）,在中间部分,红色小正方形的个数乘2就是蓝色小正方形的个数。即使在红色小正方形个数较多的情况下,仍然可以算得很快,看来图形中确实蕴涵着数的规律。找到了其中的规律,解决问题就清晰、容易多了。

2.课件展示教科书P107“练习二十二”第1题。

先放手让学生找出规律,再交流汇报。

【学情预设】由于每个图形最外圈小正方形的个数都是8的相应倍数,因此第n个图形最外圈小正方形的个数是8n。类似的算式(2n+1)2-(2n-1)2可能学生找不到,教师可以引导学生观察给出的算式中两个数间的关系,如3和1、5和3、7和5……这样从相邻奇数入手思考,会很快发现其中的规律。

3.课件展示教科书P107“练习二十二”第2题。

师：上方有图,下方有对应的数字,请你观察和思考,图和数之间有什么规律？

(1)小组交流后全班汇报。

【学情预设】预设1：第2个图形中小圆的个数为1+2,第3个图形中小圆的个数为1+2+3,第4个图形中小圆的个数为1+2+3+4。

预设2：是第几个图形,其中就有几行小圆。

师：照这个规律往下画,你能画出来吗？图形下方的数字表示的是什么？第5个、第6个、第7个图形下方的数,你能不能很快写出来？

(2)请学生独立完成在练习纸上。

(3)学生汇报,说说是怎么得到结果的。

师：第10个图形中的最后一行是第几行？一共含有几个小圆？

【学情预设】第10个图形中的最后一行是第10行,一共含有55个小圆。

师：现在如果老师不让你画图,你能不能想象一下第10个图形,它是什么样子的？一共有多少个小圆呢？现在我们就不画图,算一算,第10个图形下方的那个数是多少？能算出来吗？动笔试一试。

(4)展示学生作品,请学生介绍方法。

【设计意图】通过练习,让学生进一步体会数形结合的特点,感受用形来解决数的有关问题的直观性与简捷性。在练习中充分让学生动脑、动口、动手,在交流中发现特点,解决问题。

4.课件展示教科书P108“练习二十二”第3题。

（1）学生独立在教科书上完成。

（2）展示交流,集体订正。

【学情预设】就具体的图形来说,学生能较轻松地填出数。在发现规律时,学生可能会有困难,特别是发现的规律难以用语言表达清楚。教师要引导学生用字母表示。

四、回顾反思

师：今天这节课,我们一起学习了“数与形”,说说你们有什么收获。

【学情预设】学生可能会说,利用图形发现规律,利用图形进行计算比较简便等。

师小结：在解决问题时,可以利用形解决数的问题,也可以利用数解决形的问题,根据实际灵活选用。

五、板书设计

  数与形（1）

1＝1×1＝12

1+3=2×2=22

1+3+5=3×3=32

1+3+5+7=42

1+3+5+7+9+11+13=72

六、作业设计

一、下面每个图形中各有多少个白色小正方形和多少个灰色小正方形?

照这样接着画下去,第n个图形中有(      )个白色小正方形和(    )个灰

色小正方形。

二、先数一数,再填一填,用你发现的规律解决问题。

1.摆15个三角形,需要多少根小棒？

2.有89根小棒,能摆出多少个三角形？

3.摆成的三角形个数与所用的小棒根数之间有什么关系？

集体备课教案

（主备人：余峰）

课题

数与形（2）

班级

时间

2024.12

教师

教学目标：

1.在学习过程中引导学生探索研究数与形之间的联系,寻找规律,发现规律,学会利用图形来解决一些有关数的问题。

2.让学生经历猜想与验证的过程,体会数形结合、归纳推理、极限等基本数学思想。

教学重、难点：

重点: 探索数与形之间的联系,寻找规律,并利用图形来解决有关数的问题。

难点: 让学生经历探索规律及验证规律的过程。

教具准备：多媒体课件。

教学过程

一、直接导入,揭示课题

师：同学们,上节课我们探究了图形中隐藏的数的规律,今天我们继续研究有关数与图形之间的联系。［板书课题：数与形（2）］

【设计意图】直奔主题,简洁明了,有利于学生清楚本节课学习的内容和方向。

二、探索发现,学习新知

1.教师与学生比赛算题。

师：上节课计算竞赛,老师赢了。本节课,我还想跟你们比赛,你们还敢挑战吗？（敢！）

师：你们知道+等于多少吗？()那++等于多少呢？

学生尝试计算,教师直接给出答案。

师：只要按照这个分子是1,分母依次扩大到2倍的规律写下去,不管有多少个分数相加,我都能立马算出结果。

师：有的同学不相信是吗？咱们试试就知道。为了验证,我请我们班计算最快的同学跟我一起算,看看结果是否相同。谁来出题？

学生出题,师生竞赛。

【学情预设】学生会按照以上算式中的规律,出以下题：

在学生出题后,教师都能立刻算出结果,并且是正确的,学生感到很惊奇。

师：知道我为什么算得那么快吗？因为我有一件神秘的法宝,你们想知道吗？

【设计意图】一方面,教师通过与学生比赛计算速度,且每次教师胜利,使学生产生好奇心,再通过幽默的语言,吸引学生的注意力,激发学生的学习兴趣和求知欲；另一方面,为接下来学习例题做好铺垫。

2.借助正方形探究计算方法。

教师边说边用课件出示一个正方形。

师：让我们来把这个正方形变一变,聪明的同学们一定能看明白是怎么回事了。

（1）进行演示讲解。

①演示+。

师：用一个正方形表示“1”,先取它的一半就是正方形的（涂红）,再取剩下部分的一半就是正方形的（涂黄）。

师：想一想,正方形中表示+的涂色部分与空白部分和整个正方形之间有什么关系呢？（涂色部分等于“1”减去空白部分）空白部分占正方形的几分之几？（）那么涂色部分还可以怎么算呢？（1-）也就是说+=1-。

②继续演示++。

师：谁知道除了通分,还可以怎么算？

根据学生回答,板书：++=1-。

③演示+++。

师：那么计算+++就可以得到什么？+++=1-

（2）初步发现规律。

师：看到这儿,你发现什么规律了吗？

【学情预设】学生发现,从开始,后面分数的分母依次是前一个分数分母的2倍,把这些分数加起来,和等于1减去最后一个分数。

(3)总结规律。

师小结：按照这样的规律往下加,不管加到几分之一,只要用1减去这个几分之一就可以得到答案了。

师：这个法宝怎么样？谁来说说它好在哪里？你学会了吗？

(4)尝试练习。

课件出示习题。

【设计意图】将复杂的数量运算转化为简单的图形面积计算,转繁为简,化难为易,引导学生探索数与图形的联系,让学生体会到数形结合、归纳推理的数学思想方法。

3.知识提升,探索发现。

(1)感受极限思想。

课件出示教科书P105例2。

师：刚才我们已经从一直加到了,如果我继续加,加到,得数等于多少？()再接着加,一直加到,得数等于多少？()随着不断继续加,你发现得数越来越大,无数个这样的数相加,和会是多少呢？这时候你心中有没有一个大胆的猜想？

【学情预设】猜想：这样一直加下去,得数会不会就等于1了？

师：想象一下,如果我们在刚才加的过程中在正方形上不断涂色,那空白部分的面积会发生怎样的变化？涂色部分的面积呢？

【学情预设】空白部分的面积会越来越小,涂色部分的面积会越来越大。

师：一直往下加,和的得数越来越接近什么数？最终得数是1吗？你有什么方法来验证？

【学情预设】学生提出用圆和线段来帮助验证,若没有学生提出,教师自己提出。

(2)利用线段图直观感受相加之和等于“1”。

师：教科书上有两幅图,我们一起来看看。（出示课件）

师：你能看懂这两幅图的意思吗？请你想一想,然后告诉大家你的想法。

【学情预设】学生会推导出：这些分数不断加下去,总和就是1。

师：他们的想法对吗？

【学情预设】学生利用直观图,并结合算式,看出了++++++…的值越来越接近1。其实,当次数趋于无限时,这些分数的和就是1。

教师根据学生的回答进行板书。

【设计意图】利用数与形的结合,让学生直观体会极限的数学思想,并让学生经历猜想得数等于“1”,到数形结合证明得数等于“1”的过程,激发学生的学习兴趣,培养学生探索新知的精神。

4.迁移提升。

（1）交流感受。

师：对于这种借用图形来帮助我们解决问题的方法,你有什么感受？

【学情预设】“数”与“形”有着紧密的联系,在一定条件下可以相互转化。当用数形结合的方法解决问题时,会发现许多难题的解决变得很简单。

（2）举一反三。

师：其实在以前的学习中,我们也常用到数形结合的数学方法帮助我们解题,你能想到哪些例子吗？

【学情预设】学生可能有困难,教师举例：一年级加法,分数的认识,复杂的路程问题,线段图等。（出示课件）

师：这些都是数形结合的方法。

【设计意图】让学生体会“数形结合”是数学学习中常用的方法。

三、巩固练习,综合应用

1.课件展示教科书P108“练习二十二”第4题。

（1）学生小组合作,研讨解答。

【学情预设】本题渗透着比例思想,对于学生来说,有一定的难度,教师要适当提示。

（2）展示交流。

师：这道题跟我们以前学习的行程问题相同吗？需要知道速度和时间吗？

引导学生发现狗的速度是人的速度的2倍,用比例的知识解答。

2.课件展示教科书P108习二十二”第5题。

（1）学生仔细读图,尝试解答。

（2）展示交流。

师：这几个图中哪个是描述妈妈的行程的？你是怎么知道的？

【学情预设】学生可能根据整幅图进行判断,也可能只根据其中的一段进行判断。

3.课件展示教科书P109习二十二”第6题。

（1）全班读题,学生独立思考,说出解题思路。

（2）根据学生情况，连线（课件动态演示）。

（3）结合连线图得出：小刚一共下了2盘,分别和小林、小强下的。

【设计意图】让学生进一步体会数形结合的直观性和变难为易的特点。

4.课件展示教科书P109习二十二”第7题。

生独立在教科书上接着写，集体订正。

5.课件展示教科书P111“练习二十二”第8*题。

学生看图思考，师生交流。

师：（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2吗？说说你是怎么知道的。

【学情预设】学生会说这个大正方形的面积有两种不同的算法,两种算法的结果是相等的。

四、课堂小结

师：这节课你们有什么收获？

师小结：在解决数学问题时,常用数与形结合的方式来思考,这样既利用了形的直观,又利用了数的细微。因此,数与形有着十分密切的联系。我们在今后解决数学问题时,要合理地把数与形结合起来考虑。

五、板书设计

数与形（2）

++++++…=1

六、作业设计

如图,在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形(a>b),把剩下的部分拼成一个梯形。分别计算出这两个图形阴影部分的面积,说一说a2-b2与(a +b)（a -b)大小关系。